9 期望最大
期望最大算法的目的是解决具有隐变量的混合模型的参数估计（极大似然估计）。MLE 对 \(p(x|\theta)\) 参数的估计记为：\(\theta_{MLE}=\mathop{argmax}\limits_\theta\log p(x|\theta)\)。EM 算法对这个问题的解决方法是采用迭代的方法： \[ \theta^{t+1}=\mathop{argmax}\limits_{\theta}\int_z\log [p(x,z|\theta)]p(z|x,\theta^t)dz=\mathbb{E}_{z|x,\theta^t}[\log p(x,z|\theta)] \] 这个公式包含了迭代的两步：
- E step：计算 \(\log p(x,z|\theta)\) 在概率分布 \(p(z|x,\theta^t)\) 下的期望
- M step：计算使这个期望最大化的参数得到下一个 EM 步骤的输入
求证：\(\log p(x|\theta^t)\le\log p(x|\theta^{t+1})\)
证明：\(\log p(x|\theta)=\log p(z,x|\theta)-\log p(z|x,\theta)\)，对左右两边求积分： \[ Left:\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(x|\theta)dz=\log p(x|\theta) \]
\[ Right:\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(x,z|\theta)dz-\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(z|x,\theta)dz=Q(\theta,\theta^t)-H(\theta,\theta^t) \]
所以： \[ \log p(x|\theta)=Q(\theta,\theta^t)-H(\theta,\theta^t) \] 由于 \(Q(\theta,\theta^t)=\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(x,z|\theta)dz\)，而 \(\theta^{t+1}=\mathop{argmax}\limits_{\theta}\int_z\log [p(x,z|\theta)]p(z|x,\theta^t)dz\)，所以 \(Q(\theta^{t+1},\theta^t)\ge Q(\theta^t,\theta^t)\)。要证 \(\log p(x|\theta^t)\le\log p(x|\theta^{t+1})\)，需证：\(H(\theta^t,\theta^t)\ge H(\theta^{t+1},\theta^t)\)： \[ \begin{align}H(\theta^{t+1},\theta^t)-H(\theta^{t},\theta^t)&=\int_zp(z|x,\theta^{t})\log p(z|x,\theta^{t+1})dz-\int_zp(z|x,\theta^t)\log p(z|x,\theta^{t})dz\nonumber\\ &=\int_zp(z|x,\theta^t)\log\frac{p(z|x,\theta^{t+1})}{p(z|x,\theta^t)}=-KL(p(z|x,\theta^t),p(z|x,\theta^{t+1}))\le0 \end{align} \] 综合上面的结果： \[ \log p(x|\theta^t)\le\log p(x|\theta^{t+1}) \]
根据上面的证明，我们看到，似然函数在每一步都会增大。进一步的，我们看 EM 迭代过程中的式子是怎么来的： \[ \log p(x|\theta)=\log p(z,x|\theta)-\log p(z|x,\theta)=\log \frac{p(z,x|\theta)}{q(z)}-\log \frac{p(z|x,\theta)}{q(z)} \] 分别对两边求期望 \(\mathbb{E}_{q(z)}\)： \[ \begin{align} &Left:\int_zq(z)\log p(x|\theta)dz=\log p(x|\theta)\\ &Right:\int_zq(z)\log \frac{p(z,x|\theta)}{q(z)}dz-\int_zq(z)\log \frac{p(z|x,\theta)}{q(z)}dz=ELBO+KL(q(z),p(z|x,\theta)) \end{align} \] 上式中，Evidence Lower Bound(ELBO)，是一个下界，所以 \(\log p(x|\theta)\ge ELBO\)，等于号取在 KL 散度为0是，即：\(q(z)=p(z|x,\theta)\)，EM 算法的目的是将 ELBO 最大化，根据上面的证明过程，在每一步 EM 后，求得了最大的ELBO，并根据这个使 ELBO 最大的参数代入下一步中： \[ \hat{\theta}=\mathop{argmax}_{\theta}ELBO=\mathop{argmax}_\theta\int_zq(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}dz \] 由于 $ q(z)=p(z|x,^t)$ 的时候，这一步的最大值才能取等号，所以： \[ \hat{\theta}=\mathop{argmax}_{\theta}ELBO=\mathop{argmax}_\theta\int_zq(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}dz=\mathop{argmax}_\theta\int_zp(z|x,\theta^t)\log\frac{p(x,z|\theta)}{p(z|x,\theta^t)}d z\\ =\mathop{argmax}_\theta\int_z p(z|x,\theta^t)\log p(x,z|\theta) \] 这个式子就是上面 EM 迭代过程中的式子。
从 Jensen 不等式出发，也可以导出这个式子： \[ \log p(x|\theta)=\log\int_zp(x,z|\theta)dz=\log\int_z\frac{p(x,z|\theta)q(z)}{q(z)}dz\\ =\log \mathbb{E}_{q(z)}[\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}]\ge \mathbb{E}_{q(z)}[\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}] \] 其中，右边的式子就是 ELBO，等号在 $ p(x,z|)=Cq(z)$ 时成立。于是： \[ \int_zq(z)dz=\frac{1}{C}\int_zp(x,z|\theta)dz=\frac{1}{C}p(x|\theta)=1\\ \Rightarrow q(z)=\frac{1}{p(x|\theta)}p(x,z|\theta)=p(z|x,\theta) \] 我们发现，这个过程就是上面的最大值取等号的条件。
9.1 广义 EM
EM 模型解决了概率生成模型的参数估计的问题，通过引入隐变量 \(z\)，来学习 \(\theta\)，具体的模型对 \(z\) 有不同的假设。对学习任务 \(p(x|\theta)\)，就是学习任务 \(\frac{p(x,z|\theta)}{p(z|x,\theta)}\)。在这个式子中，我们假定了在 E 步骤中，\(q(z)=p(z|x,\theta)\)，但是这个\(p(z|x,\theta)\) 如果无法求解，那么必须使用采样（MCMC）或者变分推断等方法来近似推断这个后验。我们观察 KL 散度的表达式，为了最大化 ELBO，在固定的 \(\theta\) 时，我们需要最小化 KL 散度，于是： \[ \hat{q}(z)=\mathop{argmin}_qKL(p,q)=\mathop{argmax}_qELBO \] 这就是广义 EM 的基本思路：
E step： \[ \hat{q}^{t+1}(z)=\mathop{argmax}_q\int_zq^t(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q^t(z)}dz,fixed\ \theta \]
M step： \[ \hat{\theta}=\mathop{argmax}_\theta \int_zq^{t+1}(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q^{t+1}(z)}dz,fixed\ \hat{q} \]
对于上面的积分： \[ ELBO=\int_zq(z)\log\frac{p(x,z|\theta)}{q(z)}dz=\mathbb{E}_{q(z)}[p(x,z|\theta)]+Entropy(q(z)) \] 因此，我们看到，广义 EM 相当于在原来的式子中加入熵这一项。